Como ya hemos visto en la regla del producto, cuando se dispone de \(n_1\) posibilidades para una primera elección, de \(n_2\) posibilidades para otra segunda opción y así sucesivamente, el número total de posibilidades diferentes es el producto de las diferentes posibilidades:
\[ n_1 ·n_2·n_3·\thinspace\cdots\thinspace·n_k \]
Pero en ocasiones, cuando uno de los elementos ya se ha multiplicado hay que excluirlo en las siguientes iteraciones. Como sucede cuando se contabilizan los posibles saludos entre un grupo de personas o los posibles billetes de ida y vuelta que se pueden vender en función del número de estaciones.
Q1. Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas?
Por cada chaqueta se puede poner 10 pantalones. O también, por cada pantalón se puede poner 6 chaquetas.
Es decir,
\[ 6 \cdot 10=10 \cdot 6=60 \]
Q2. Queremos crear un código que conste en primer lugar de una vocal y a continuación de 2 cifras elegidas entre el 1 y el 9 (ambas incluidas). ¿Cuántos elementos distintos podemos conseguir con este código?
Hay 5 vocales y 9 dígitos.
Los elementos distintos que se pueden conseguir son \( 5 \cdot 9=45 \) si solo hubiera una vocal y un dígito. Pero tiene dos cifras.
Por lo tanto, el resultado es:
\[ 5 \cdot 9 \cdot 9=405 \]
Q3. Una persona ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Solo recuerda que empieza por 9 y que termina por un número par. ¿Cuál es el máximo posible de combinaciones que debería probar hasta encontrarla, sabiendo que las claves son de 4 cifras con posible repetición?
El 9 está ‘fijo’ y hay 5 pares \( \left\{ 0,2,4,6,8 \right\} \). Luego el número será de la siguiente forma: 9 _ _ Par.
Por lo tanto las posibilidades son:
\[ 1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5=500 \]
Q4. Todas las personas que asisten a una reunión se dan un abrazo. Si se han producido 55 abrazos, ¿cuántas personas hay en la reunión?
El problema se puede resolver mediante el Triángulo de Tartaglia o de Pascal, por la diagonal de los números triangulares. Como el número 55 de la tercera diagonal se encuentra en la décima fila, en la reunión había 10 personas.
Pero también se puede resolver por la fórmula de la suma de una progresión aritmética de diferencia 1:
\[ 1+2+3+\cdots+n = \frac {n\left( 1+n \right)} {2} \]
Es decir, \( \frac {n\left( 1+n \right)} {2} = 55 \space;\space n+n^{2}=110 \space;\space n^{2}+n-110=0 \)
Ecuación de segundo grado que da dos soluciones: \( x_{1}=10 \space;\space x_{2}=-11 \)
Despreciando la negativa, tenemos que en la reunión había 10 personas.
Q5. En una liga de baloncesto escolar participan 12 equipos. Cada equipo juega contra todos los demás, a doble vuelta. ¿Cuántos partidos se disputan en total?
Este problema es como el de los abrazos, pero con partidos de baloncesto. La diferencia es que hay doble vuelta. Es decir, el resultado debe multiplicarse por dos.
Por lo tanto:
\[ 2\cdot \frac {n\left( n+1 \right)} {2} = 2\cdot \frac {11\left( 12 \right)} {2} = 132 \]
Nota: \( n=11 \) porque un equipo no juega en contra de sí mismo.
Q6. En una línea de ferrocarril hay 10 estaciones. En cada billete figura la estación de partida y la de llegada ¿Cuántos billetes distintos hay?
Este problema es como el de los abrazos o el de la liga de baloncesto. Pero en esta ocasión, al ser de ida y vuelta los billetes también hay que multiplicar por 2 el resultado obtenido
Por lo tanto:
\[ 2\cdot \frac {n\left( n+1 \right)} {2} = 2\cdot \frac {9\left( 10 \right)} {2} = 90 \]
Nota: \( n=9 \) porque no hay billete de ida y vuelta sobre una misma estación.
Q7. Si lanzamos 3 dados y una moneda, ¿cuántos resultados posibles obtenemos?
Un dado tiene 6 caras y una moneda dos. Como hay 3 dados y 1 moneda:
Luego: \( 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 2=432 \)
Q8. Un restaurante dispone de 10 primeros platos, 8 segundos y 5 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden confeccionar?
Las posibles combinaciones de platos son: \( 10 \cdot 8 \cdot 5 = 400 \)
Q9. Al terminar Bachillerato, Ana tiene decidido cursar estudios universitarios. Con la opción que ha cursado, está dudando entre 4 posibles opciones de grado y 3 universidades que ofertan estas opciones. ¿Cuántas opciones tiene Ana?
Como hay 4 grados en cada una de las tres universidades, la solución: \( 4 \cdot 3 = 12 \)
Q10. Con los colores rojo, amarillo, verde, azul, negro y blanco ¿cuántas mezclas de 4 colores se pueden hacer?
Rojo = R, Amarillo = A, Verde = V, Azul = Z, Negro = N, Blanco = B.
Se trata de hacer todas las posibles combinaciones, teniendo en cuenta que se deben restar las repeticiones.
El conjunto de elementos es = {R, A, V, Z, N, B}
RAVZ, RAVN, RAVB, RAZN, RAZB, RANB, RVZN, RVZB, RVNB, RZNB, AVZN, AVZB, AVNB, AZNB, VZNB
En total se pueden hacer 15 mezclas de colores