Combinaciones: Binomio de Newton

 

Como aplicación de las propiedades de los números combinatorios, podemos escribir el siguiente triángulo aritmético conocido con el nombre de Triángulo de Tartaglia.

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}4 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) \quad\quad\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}5 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}5 \\ 5\end{array}\right) \smallskip \]

    \[ \displaystyle \left(\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right) \quad\quad\left(\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}6 \\ 3\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}6 \\ 4\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}6 \\ 5\end{array}\right) \quad\quad \left(\begin{array}{l}6 \\ 6\end{array}\right) \]

Una vez se desarrollan los números combinatorios, resulta lo siguiente:

    \[ \displaystyle 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 2\thinspace\qquad 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 3 \thinspace\qquad 3 \thinspace\qquad 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 4 \thinspace\qquad 6 \thinspace\qquad 4 \thinspace\qquad 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 5 \quad\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace 10 \quad\thinspace\thinspace\thinspace 10 \thinspace \qquad 5 \thinspace \qquad 1 \]

    \[ \displaystyle 1 \qquad 6 \quad\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace 15 \quad\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace 20 \quad\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace 15 \thinspace\qquad 6 \thinspace\qquad 1 \]

Binomio de Newton

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cada término del polinomio por cada término del binomio y se reducen los términos semejantes.

Esta regla permite encontrar las potencias de un binomio según el siguiente desarrollo:

\displaystyle (a+b)^{1} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad a+b \smallskip
\displaystyle (a+b)^{2} \qquad\qquad\qquad\qquad a^{2}+2 a b+b^{2} \smallskip
\displaystyle (a+b)^{3} \qquad\quad\qquad\qquad a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \smallskip
\displaystyle (a+b)^{4} \qquad\quad\qquad a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \smallskip
\displaystyle (a+b)^{5} \qquad\quad a^{5}+5a^{4}b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5} \smallskip
\displaystyle (a+b)^{6} \quad a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3} b^{3}+15a^{2} b^{4}+6a b^{5}+b^{6} \smallskip

En este triángulo observamos que:

  1. Los exponentes de las potencias de a van decreciendo, de unidad en unidad.
  2. Los exponentes de las potencias de b van decreciendo, de unidad en unidad.
  3. Los coeficientes de cada término, excepto el primero y el último que son la unidad, se encuentran sumando los coeficientes de los dos términos que hay encima de él, en la fila inmediata superior. Esto justifica que los coeficientes coincidan con los correspondientes números del triángulo de Tartaglia.

Con todo esto, podemos decir que:


El desarrollo de la potencia de exponente natural n del binomio (a+b), es igual a un polinomio homogéneo de grado n y con n+1 términos, ordenados según las potencias decrecientes de a y crecientes de b. Sus coeficientes numéricos son los números combinatorios cuyo índice superior es n y cuyo índice inferior varía sucesivamente de 0 a n.

    \[ (a+b)^{n}=\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right) a^{n}+\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right) a^{n-1} b+\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\n\end{array}\right) b^{n} \]

Ests fórmula es conocida con el nombre de binomio de Newton.

El término \left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right) a^{n-k}b^k se llama término general y ocupa el lugar k+1 en el desarrollo del binomio. Mediante él podemos obtener sucesivamente todos los términos del desarrollo, atribuyendo a k los valores 0, 1, 2, 3, … n.


El desarrollo anterior es válido también para la diferencia de dos monomios, con la condición de que (a-b)^n = [a+(-b)]^n. Como que (-b)^k es positivo si k es par y negativo si k es impar, tenemos entonces que:

    \[ (a-b)^{n}=a^{n}-\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right) a^{n-1} b+\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}-\left(\begin{array}{l}n \\3\end{array}\right) a^{n-3} b^{3}+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\n\end{array}\right) b^{n} \]

Como podemos observar, se van alternando los signos positivos y negativos.

 
Ejemplos

\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) x^{3} y+\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) x^{2} y^{2}+\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) x y^{3}+\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right) y^{4}=
\displaystyle =x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4} \bigskip
\displaystyle (x-y)^{4}=x^{4}-\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) x^{3} y+\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right) x^{2} y^{2}-\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) x y^{3}+\left(\begin{array}{l}4 \\ 4\end{array}\right) y^{4}=
\displaystyle =x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4} \bigskip
\displaystyle \left(\frac{2}{3} x+y^{2}\right)^{5}=\left(\frac{2}{3} x\right)^{5}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right)\left(\frac{2}{3} x\right)^{4}\left(y^{2}\right)+\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right)\left(\frac{2}{3} x\right)^{3}\left(y^{2}\right)^{2}+
\displaystyle +\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right)\left(\frac{2}{3} x\right)^{2}\left(y^{2}\right)^{3}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right)\left(\frac{2}{3} x\right)\left(y^{2}\right)^{4}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 5\end{array}\right)\left(y^{2}\right)^{5}=
\displaystyle =\frac{32}{243} x^{5}+\frac{80}{81} x^{4} y^{2}+\frac{80}{27} x^{3} y^{4}+\frac{40}{9} x^{2} y^{6}+\frac{10}{3} x y^{8}+y^{10} \bigskip

Observaciones

  • Cuando los monomios presentan dificultades, conviene resolver el desarrollo siguiendo estrictamente la regla, haciendo después las operaciones.
  • Como los números combinatorios entran en el desarrollo de la potencia de un binomio, reciben también el nombre de coeficientes binómicos.

 
Ejercicios
Estos ejercicios deben ser resueltos por cada alumno en su libreta. Una vez terminados, se hacen fotos a las páginas donde están sus desarrollos y se envían finalmente a la carpeta ‘Binomio de Newton’ que está enlazada en el botón naranja inferior. Buscar allí dentro una carpeta con el nombre del profesor, acceder a su interior y subir las fotos de esos ejercicios en formato JPG.
El nombre de las fotos deberá tener el siguiente formato:
apellido1-apellido2-nombre-numero_imagen.jpg

1. \displaystyle (a+2b)^3 2. \displaystyle (3-2x)^3 3. \displaystyle (5x^2-3y)^3
4. \displaystyle \left(\frac{x}{3}+2y\right)^3 5. \displaystyle \left(\frac{3}{4}xy-\frac{2}{9}y\right)^3 6. \displaystyle \left(2a^2b^3c-\frac{1}{3}\right)^3
7. \displaystyle (x+y)^4 8. \displaystyle (x-y)^4 9. \displaystyle (x-2y)^4
10. \displaystyle \left(\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)^4 11. \displaystyle \left(3-\frac{1}{3}b\right)^4 12. \displaystyle \left(2a+\frac{1}{2}b\right)^4

 
Más ejercicios
Igualmente, resolver estos ejercicios en la libreta y subir las fotos en formato JPG a la carpeta correspondiente del profesor, dentro de la carpeta ‘Binomio de Newton’.
El nombre de las fotos deberá tener el siguiente formato:
apellido1-apellido2-nombre-numero_imagen.jpg
 
1. Encontrar el cuarto término de la potencia (1-x)^{10}
 
2. Encontrar el octavo término del desarrollo de la potencia (3a^2b-2a)^{11}
 
3. Encontrar el término que contiene x^6 en el desarrollo de la potencia (2x^2-3y)^7
 
4. Escribe el término que contiene x^8 en el desarrollo de la potencia (3x^3-2xy)^6
 
5. Encontrar el término que contiene x^{11} en el desarrollo de la potencia \displaystyle \left(\frac{2x^2}{y} - \frac{y^2}{x}\right)^{20}
 
6. Encontrar el término que contiene a^{73} en el desarrollo de la potencia \displaystyle \left(3a^5b^3 + \frac{3a^2}{4b}\right)^{17}

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