Combinaciones: Números y Geometría

 

Q1. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9 ¿cuántos productos distintos se pueden obtener, multiplicando dos de estos números?

ROEn = 5, r = 2

    \[ C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

Q2. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9 ¿cuántos productos con dos de estos números son pares?

ROEn = 4, r = 1

    \[ C_{4,1} = \frac{4!}{1! \cdot (4-1)!} = \frac{4 \cdot 3!}{1! \cdot 3!} = \frac{4}{1} = 4 \]

En efecto, solo puede haber 4 casos pares, que son los productos que incluyen el número 6: 6×3, 6×5, 6×7, 6×9

Q3. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9 ¿cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números?

ROEn = 5, r = 2

    \[ V_{5,2} = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 \]

Este ejemplo es útil para entender la diferencia entre las combinaciones y las variaciones: la importancia del orden. Mientras que el producto es conmutativo y por tanto no importa el orden, la división no lo es y por lo tanto sí que importa.

Q4. ¿Cuántas sumas diferentes, de dos sumandos, se pueden obtener con los números 1, 3, 5, 11, 21 y 41?

ROEn = 6, r = 2

    \[ C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15 \]

Se trata de combinaciones, pues al ser sumas diferentes el orden de los elementos no afecta: la suma 1+3=3+1. Por esto lo único que hace que sean diferentes son los elementos constitutivos de las sumas.

Q5. Calcula el número de subconjuntos ternarios que posee un conjunto de 10 elementos

ROEn = 10, r = 3

    \[ C_{10,3} = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120 \]

Q6. ¿Cuántos subconjuntos de 4 elementos se pueden obtener del conjunto formado por las 9 cifras significativas?

ROEn = 9, r = 4

    \[ C_{9,4} = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4! \cdot 5!} = \frac{3024}{12} = 252 \]

Q7. Cuántos subconjuntos posee un conjunto de 6 elementos

Los posibles subconjuntos de elementos son el vacío, 1 elemento, 2 elementos, … , 6 elementos. Por lo tanto:

Vacío: 1
Un elemento: \displaystyle C_{6,1} = \frac{6!}{1! \cdot (6-1)!} = \frac{6 \cdot 5!}{1! \cdot 5!} = \frac{6}{1} = 6
Dos elementos: \displaystyle C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15
Tres elementos: \displaystyle C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20
Cuatro elementos: \displaystyle C_{6,4} = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2!} = \frac{30}{2} = 15
Cinco elementos: \displaystyle C_{6,5} = \frac{6!}{5! \cdot (6-5)!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6
Seis elementos: \displaystyle C_{6,6} = \frac{6!}{6! \cdot (6-6)!} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = \frac{6!}{6!} = 1

La suma total es:

    \[ \displaystyle 1+C_{6,1}+C_{6,2}+C_{6,3}+C_{6,4}+C_{6,5}+C_{6,6}=1+6+15+20+15+6+1 \]

Q8. Obtener el número de diagonales de un cuadrado

ROEn = 4, r = 2

Primero se calcula el número de vértices adyacentes que se pueden unir: 4 tomados de 2 en 2.

    \[ C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6 \]

Eliminando los 4 lados del cuadrado, quedan 2 diagonales.

Q9. Obtener el número de diagonales de un hexágono

ROEn = 6, r = 2

Primero se calcula el número de vértices adyacentes que se pueden unir: 6 tomados de 2 en 2.

    \[ C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15 \]

Eliminando los 6 lados del cuadrado, quedan 9 diagonales.

Q10. Cuántas rectas determinan 5 puntos en un plano, suponiendo que no hay 3 en línea recta

ROEn = 5, r = 2

    \[ C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10 \]

Al tratarse de rectas, bastan un par de puntos de los 5 disponibles para formar una.

Q11. ¿Cuántas rectas determinan 10 puntos coplanarios no alineados?

ROEn = 10, r = 2

    \[ C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 8!} = \frac{90}{2} = 45 \]

Al tratarse de rectas, bastan un par de puntos de los 10 disponibles para formar una.

Q12. ¿Cuántos planos diferentes determinan 5 puntos en el espacio, en el caso que ho haya más de 3 en un mismo plano?

ROEn = 10, r = 2

    \[ C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10 \]

Al tratarse de planos, bastan tres puntos de los 5 disponibles para formar una.

 

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