Combinaciones con repetición

 

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CR_{m,n}.

Para construir las variaciones con repetición, partimos de un conjunto A=\{1,2,3, 4\} y elaboramos todas las variaciones con repetición posibles.

De un elemento: Si tenemos un conjunto de tres elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos:

1, 2, 3, 4

De dos elementos: La forma de construirlas será similar a las combinaciones sin repetición aunque con la diferencia de que al permitirse repetir los elementos tendremos que añadir a cada una de las de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. Obsérvese cómo se van eliminando los elementos repetidos (21, 31, 32, 41, 42, 43) pues el orden no importa.

Así se obtienen los pares:

11, 12, 13, 14
22, 23, 24
33, 34,
44

De tres elementos: Se pueden construir a partir de las anteriores, añadiendo a cada combinación de orden dos el último elemento y todos los elementos siguientes. Obsérvese nuevamente cómo se eliminan los elementos repetidos pero con diferente orden en los números.

Se obtienen las siguientes ternas:

111, 112, 113, 114, 122, 123, 124, 133, 134, 144
222, 223, 224, 233, 234, 244
333, 334, 344
444

De cuatro elementos: Se pueden obtener a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el último elemento y los elementos siguientes.

Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, se puede observar que:

Entonces, ¿cuántas combinaciones con repetición hay?

  • De orden uno: CR_{4,1} = 4
  • De orden dos: CR_{4,2} = C_{4+1,2} = C_{5,2}
  • De orden tres: CR_{4,3} = C_{4+1+1,3} = C_{6,3}
  • De orden cuatro: CR_{4,4} = C_{4+1+1+1,4} = C_{7,4}

A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición CR_{n,r}.

    \[ CR_{n,r}=C_{n+r-1,r}=\left(\begin{array}{c}n+r-1\\ r\end{array}\right) \]

 

Ejemplos

¿Cuántas combinaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3 hay?

ROEn = 5, r = 3

\displaystyle CR_{5,3}=\left(\begin{array}{c}5+3-1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\3\end{array}\right)=\frac{7!}{3!\cdot(7-3)!}=\\ \smallskip =\frac{7!}{3!\cdot4!}=\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{3!\cdot4!}=7\cdot5=35 \medskip

¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?

Una ficha de dominó es un rectángulo dividido en dos partes. En cada una de ellas hay una serie de puntos que indican su valor. Estas puntuaciones van de blanca (cero) hasta 6. Las puntuaciones se representan por pares, pues las fichas tienen dos partes.

ROEn = 7, r = 2

\displaystyle CR_{7,2}=\left(\begin{array}{c}7+2-1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\2\end{array}\right)=\frac{8!}{2!\cdot(8-2)!}=\\ \smallskip =\frac{8!}{2!\cdot6!}=\frac{8\cdot7\cdot6!}{2!\cdot6!}=4\cdot7=28 \medskip

¿De cuántas formas se pueden elegir 4 botellas, si en una bodega hay 5 tipos diferentes de botellas?

ROEn = 5, r = 4

\displaystyle CR_{5,4}=\left(\begin{array}{c}5+4-1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\4\end{array}\right)=\frac{8!}{4!\cdot(8-4)!}=\\ \smallskip =\frac{8!}{4!\cdot4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{1680}{24}=70 \medskip

En estos últimos cuatro ejemplos vamos a ver lo que supone el orden, en la medida que diferencia las variaciones de las permutaciones.

En una clase de 10 alumnos se van a repartir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son diferentes y cada alumno solo puede recibir un premio?

ROEn = 10, r = 3

\displaystyle V_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!} = 720 \medskip

En una clase de 10 alumnos se van a repartir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son iguales y cada alumno solo puede recibir un premio?

ROEn = 10, r = 3

\displaystyle C_{10,3}=\frac{10!}{(10-3)!\cdot3!} = \frac{10!}{7!\cdot3!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{7!\cdot3!} = \frac{720}{6} = 120 \medskip

En una clase de 10 alumnos se van a repartir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son diferentes y cada alumno puede recibir más de un premio?

ROEn = 10, r = 3

\displaystyle VR_{10,3}=10^3=1.000 \medskip

En una clase de 10 alumnos se van a repartir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son iguales y cada alumno puede recibir más de un premio?

ROEn = 10, r = 3

\displaystyle CR_{10,3} = \left(\begin{array}{c} 10+3-1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 12 \\ 3 \end{array}\right) = \frac{12!}{(12-3)!\cdot3!} = \\ \smallskip \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9!}{9!\cdot3!}=\frac{1320}{6}=220 \medskip

 

En este vídeo se explica la fórmula más algunos ejemplos sencillos


 

Ejercicios

Q1. ¿Cuántos resultados distintos pueden salir si se lanzan 3 dados a la vez?

ROEn = 6, r = 3

    \[ CR_{6,3} = \left(\begin{array}{c} 6+3-1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right) = \frac{8!}{(8-3)!\cdot3!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3!}=8\cdot7=56 \]

Q2. Se arrojan simultaneamente 4 monedas. ¿Cuántos posibles resultados se pueden obtener?

ROEn = 2, r = 4

    \[ CR_{2,4}=\left(\begin{array}{c} 2+4-1 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array}\right) =\frac{5!}{(5-4)!\cdot4!}= \frac{5\cdot4!}{1!\cdot4!}=5 \]

Q3. De cuántas formas se pueden repartir 15 caramelos idénticos entre 4 niños, si cada uno recibe como mínimo un caramelo

ROEn = 4, r = 15

    \[ CR_{4,15}=\left(\begin{array}{c} 4+15-1 \\ 15 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 15 \end{array}\right) =\frac{18!}{(18-15)!\cdot15!} =\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15!}{3!\cdot15!}=\frac{4896}{6}=816 \]

Q4. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 8 piezas de fruta de una cesta que contie manzanas, naranjas y peras? No se tiene en cuenta el orden en el que se selcciona la fruta

ROEn = 3, r = 8

    \[ CR_{3,8}=\left(\begin{array}{c} 3+8-1 \\ 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 10 \\ 8 \end{array}\right) =\frac{10!}{(10-8)!\cdot8!} =\frac{10\cdot9\cdot8!}{2!\cdot8!}=\frac{90}{2}=45 \]

Q5. En una pastelería hay 12 clases de pasteles. Un cliente desea comprar 15 pasteles. ¿De cuántas formas puede hacer su elección?

ROEn = 12, r = 15

\displaystyle CR_{12,24}=\left(\begin{array}{c} 12+15-1 \\ 15 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 26 \\ 15 \end{array}\right) =\frac{26!}{(26-15)!\cdot15!} = \\ \medskip = \frac{26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15!}{11!\cdot15!}=\frac{308.403.583.488.000}{39.916.800}=7.726.160

Q6. ¿Cuántas agrupaciones de dos letras se pueden formar con las letras A, B, C y D si se permiten repeticiones?

ROEn = 4, r = 2

    \[ CR_{4,2}=\left(\begin{array}{c} 4+2-1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) =\frac{5!}{(5-2)!\cdot2!} =\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!}=\frac{20}{2}=10 \]

Q7. ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación x+y+z+w=9?

ROEn = 9, r = 4

    \[ CR_{9,4}=\left(\begin{array}{c} 9+4-1 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 12 \\ 4 \end{array}\right) =\frac{12!}{(12-4)!\cdot4!} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot4!}=\frac{11880}{24}=495 \]

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