Variaciones con repetición: Sorteos

 

Q1. ¿Cuántos resultados distintos se pueden producir lanzando una moneda 6 veces al aire?

ROEn = 2, r = 6

    \[ VR_{2,6}=2^6=64 \]

Q2. Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar dos dados de distinto color?

ROEn = 6, r = 2

    \[ VR_{6,2}=6^2=36 \]

Q3. De todos los resultados posibles al lanzar 3 dados cúbicos, ¿en cuántos de ellos aparece al menos un 5?

Este ejercicio se resuelve buscando el contrario sobre el total, es decir restando cuántas veces nunca sale el número 5.

    \[ VR_{6,3}-VR_{5,3}=6^3-5^3=216-125=91 \]

Q4. ¿Cuáles son los posibles resultados de 2 equipos que se enfrentan en 5 partidos?

Los resultados posibles de los enfrentamientos son 1, X, 2. Es decir, tenemos 3 elementos con los que hay que hacer las diferentes agrupaciones. El orden importa, ya que, por ejemplo, el resultado 1,1,1,X,1 es diferente que 1,1,X,1,1.

Por otro lado, no intervienen todos los elementos del conjunto 1, X, 2 en un mismo partido, pues el resultado es único y solo puede producirse una de las tres opciones. Entonces tenemos variaciones. Como se pueden repetir los elementos a lo largo de estos 5 encuentros, tenemos variaciones con repetición.

ROEn = 3, r = 5

    \[ VR_{3,5}=3^5=243 \]

Q5. ¿Cuántas columnas tenemos que rellenar para acertar con seguridad 7 partidos de una quiniela? Cada columna tiene 15 resultados a elegir entre 1, X, 2

ROEn = 3, r = 7

    \[ VR_{3,7}=3^7=2187 \]

Q6. En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación 3 veces. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?

ROEn = 8, r = 3

    \[ VR_{8,3}=8^3=512 \]

Q7. Con 5 bolas rojas, 6 azules, 7 naranjas y 2 blancas, ¿cuántos collares diferentes de 6 bolas podemos hacer?

En total hay 20 bolas de diferentes colores. Por lo tanto:

ROEn = 6, r = 20

    \[ VR_{6,20}=6^{20} \]

Q8. Si en la administración de loterías se pide un número al azar, que es más probable. ¿Que el número no tenga ninguna cifra repetida o que al menos tenga una repetida?

Los boletos de lotería tienen 5 dígitos. Por lo que de las 10 cifras disponibles hay que elegir 5.

Por otro lado, el orden es determinante. Pues no es lo mismo el boleto con el número 12345 que con el número 54321.

Si no puede haber repetición, entonces:

    \[ V_{10,5}=\frac{10!}{(10-5)!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!}=30240 \]

Si puede haber repetición, tenemos el número total de boletos:

    \[ VR_{10,5}=10^5=100000 \]

Para calcular la cantidad de boletos que tienen números repetidos, restamos VR_{10,5}-V_{10,5}=100000-30240=69760.

Por lo tanto hay 69760 boletos con números repetidos y 30240 boletos en los que no se repite nigún número.
Es más probable un boleto con números repetidos.

 

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