Permutaciones: Números

 

Q1. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de 5 cifras se pueden formar?

ROEn = 5

Los números impares son 1, 3, 5, 7 y 9. Por lo tanto P_5=5!= 120

Q2. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5?

ROEn = 5

    \[ P_5=5!= 120 \]

Q3. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5 si el número 3 siempre ocupa el lugar de las centenas

ROEn = 5

Como el número 3 ocupa el lugar de las centenas, se trata de los números con la forma _ _ 3 _ _. Y como siempre debe estar fijada esa cifra, resta una posición y por lo tanto P_4=4!= 24

Q4. Con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de 5 cifras se pueden formar?

En este caso tenemos la cifra 0, que no puede estar en primera posición porque entonces el número no es de 5 cifras sino de 4. Pero en todas las demás posiciones sí puede estar. Es decir, hay que restar la única imposibilidad ( P_4 ) del resto ( P_5 ).

  • 0 _ _ _ _ (NO)
  • _ 0 _ _ _ (SI)
  • _ _ 0 _ _ (SI)
  • _ _ _ 0 _ (SI)
  • _ _ _ _ 0 (SI)

    \[ P_5 - P_4 = 5! - 4! = 120 - 24 = 96 \]

Q5. Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos de los números de cinco cifras son menores que 70000?

Con las cifras impares se pueden hacer 5! números. Pero hay que restar los que comienzan por 9 y por 7 al ser todos ellos mayores que 70.000. Así que en el ejercicio anterior solo había que restar los que comenzaban por un número, pero ahora hay que restar los que comienzan por dos números.

Por lo tanto:

    \[ P_5 - 2 \cdot P_4 = 5! - 2 \cdot 4! = 120 - 48 = 96 \]

Q6. Con las cifras impares 5, 6, 7, 8 y 9, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar, con la condición de que no haya dos cifras impares juntas?

Las cifras impares son los números 5, 7 y 9.

Como los impares nunca pueden estar juntos, la posición será IPIPI

Habrá una permutación entre los impares y otra entre los pares. Es decir P_2 y P_3.

Por lo tanto:

    \[ P_2 \cdot P_3 = 2! \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 \]

Q7. Calcula la suma de todos los números de 5 cifras distintos, que pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5

Importa el orden. Pero a diferencia de otros problemas semejantes que se resuelven mediante variaciones porque no intervienen todos los elementos, en este ejercicio hay 5 dígitos para números de 5 cifras. Por lo tanto son permutaciones, sin repetición porque tienen que ser distintos.

P_5=5!=120

Ahora calculamos la suma:

Como hay 120 números con 5 dígitos, cada uno de ellos puede salir en 24 números. Por lo tanto:

Suma de las unidades:

24\cdot5+24\cdot4+24\cdot3+24\cdot2+24\cdot1=24(5+4+3+2+1)=24\cdot25=360

Suma de las decenas: 10\cdot360=3600

Suma de las centenas: 100\cdot360=36000

Suma de los millares: 1000\cdot360=360000

Suma de las unidades de millar: 10000\cdot360=3600000

Por lo tanto la suma final es: 360+3.600+36.000+360.000+3.600.000 = 3.999.960

Q8. Demuestra que la suma de todos los números de tres cifras diferentes que se pueden formar con las cifras 4, 5 y 6 es igual a 222·(4+5+6)

La suma de las unidades es:

Al sumarse las unidades, éstas quedan fijadas y solo pueden permutar dos números: P_2=2!=2

_ _ 4 + _ _ 5 + _ _ 6 = 4 \cdot P_2 + 5 \cdot P_2 +6 \cdot P_2 = 2 \cdot (4+5+6)

La suma de las decenas es 10 veces la de las unidades:

10 \cdot 2 \cdot (4+5+6) = 20 \cdot (4+5+6)

La suma de las centenas es 100 veces la de las unidades:

100 \cdot 2 \cdot (4+5+6) = 200 \cdot (4+5+6)

Por lo tanto:

2 \cdot (4+5+6) + 20 \cdot (4+5+6) + 200 \cdot (4+5+6) = 222 \cdot (4+5+6)

 

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