Combinaciones: Introducción

 

Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de n elementos tomados de r en r (de orden r) son los distintos grupos de r elementos distintos que se pueden hacer con los n elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por C_{n,r} con r \leq n.

Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A=\{1,2,3,4\} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.

De un elemento:
Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos.
Es decir: 1, 2, 3, 4.

De dos elementos:
A diferencia de las variaciones, si ahora cambiamos de orden los elementos de un grupo, se obtiene el mismo grupo, por lo que para añadir el segundo elemento solo podremos añadir todos los elementos posteriores y no los anteriores.
Así se obtienen: 12, 13, 14, 23, 24, 34.

De tres elementos:
Se pueden construir a partir de las anteriores añadiendo a cada combinación de orden dos los elementos posteriores al segundo.
Se obtienen: 123, 124, 134, 234.

De cuatro elementos:
Se pueden obtener a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas los elementos posteriores al tercer elemento.
Solo hay una posibilidad: 1234.

Como estamos construyendo combinaciones sin repetición y los elementos no se pueden repetir, ya no podemos continuar construyendo variaciones de orden cinco.
 

¿Cómo se calculan las combinaciones sin repetición?

Si en cada una de las C_{n,r} combinaciones de orden r se encuentran las P_{r} permutaciones posibles de sus elementos, se obtienen las V_{n,r} variaciones de m elementos, tomados de r en r.

Es decir, se verifica que:

C_{4,1} \cdot P_1 = V_{4,1}

1, 2, 3, 4 \longrightarrow 1, 2, 3, 4

C_{4,2} \cdot P_2 = V_{4,2}

12, 13, 14 \longrightarrow 12, 21, 13, 31, 14, 41
23, 24 \longrightarrow 23, 32, 24, 42
34 \longrightarrow 34, 43

C_{4,3} \cdot P_3 = V_{4,3}

123, 124 \longrightarrow 123, 132, 213, 231, 321, 312, 124, 142, 214, 241, 412, 421
134 \longrightarrow 134, 143, 314, 341, 413, 431
234 \longrightarrow 234, 243, 324, 342, 423, 432

Y en términos generales:

    \[ C_{n,r} \cdot P_r = V_{n,r} \]

O lo que es lo mismo:

    \[ \displaystyle C_{n,r} = \frac{V_{n,r}}{P_r} = \frac{ \displaystyle\frac{n!}{(n-r)!} }{ r! } = \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} = \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right) \]

Por ejemplo:

    \[ C_{4,3} \cdot P_{3}=V_{4,3} \Rightarrow C_{4,3}=\frac{V_{4,3}}{P_{3}}=\frac{\displaystyle\frac{4!}{(4-3)!}}{3!}=\frac{4!}{3! \cdot (4-3) !}=\left(\begin{array}{l}4\\3\end{array}\right) \]

Ejemplos

Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

ROEn = 10, r = 7

\displaystyle C_{10,7} = \frac{10!}{(10-7)! \cdot 7!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{3! \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120 \medskip

En el caso anterior, ¿cómo cambia el examen si las 4 primeras preguntas son obligatorias?

ROEn = 6, r = 3

\displaystyle C_{6,3} = \frac{6!}{(6-3)! \cdot 3!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3! \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20 \medskip
 

En el vídeo siguiente se explica la fórmula de las combinaciones sin repetición, con algunos ejemplos sencillos


 

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