Permutaciones : Ordenación

 

Q1. Ocho ciclistas van por el carril bici. ¿De cuántas formas pueden ordenarse?

ROEn = 8

    \[ P_8 = 8! = 40.320 \]

Q2. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en una fila de butacas?

ROEn = 5

    \[ P_5 = 5! = 120 \]

Q3. ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 personas en una fila, si hay dos fijas en los extremos?

Como hay dos personas en los extremos, esas no cuentan para la permutación principal P_8. Pero además las de los extremos pueden permutar A_B y B_A. Por lo tanto:

    \[ 2 \cdot P_8 = 2 \cdot 8! = 2 \cdot 40320 = 80.640 \]

Q4. Cinco amigos viajan en un coche, pero solo dos pueden conducir. ¿De cuántas formas se pueden sentar en las plazas del coche?

Se distinguen dos grupos: los que pueden conducir (2) y los que no (3). En ambos casos importa el orden y no puede haber repetición.

Por lo que respecta a los que no tienen carnet: P_3=3!=6

En los que sí tienen carnet, se trata de una variación porque los dos solo pueden ocupar una plaza:

\displaystyle V_{2,1}=\frac{2!}{(2-1)!}=2

Por lo tanto, las posibles formas de sentarse son:

\displaystyle P_3 \cdot V_{2,1}=6 \cdot 2=12

Q5. Ocho amigos se van de viaje en dos coches, cuatro en cada vehículo. ¿De cuántas formas pueden ir sentados si solo 3 tienen carnet?

Se distinguen dos grupos: los 5 que no tienen carnet y los 3 que tienen. En el primer caso se trata de una P_5 porque siempre intervienen todos. En el segundo, se debe tener en cuenta que hay dos plazas para conducir y por lo tanto solo terminan seleccionados dos de tres. Es decir, se trata de una variación si repetición V_{3,2}. Por lo tanto:

    \[ P_5 \cdot V_{3,2} = 5! \cdot \frac{3!}{(3-2)!} = 120 \cdot 6 = 720 \]

Q6. Tres matrimonios se reunen para celebrar el aniversario de uno de ellos. Se quieren hacer una foto en fila, juntando por un lado los hombres y las mujeres por otro. ¿De cuántas maneras pueden ponerse?

Los 3 matrimonios se agrupan de dos maneras: Hombres-Mujeres y Mujeres-Hombres. Y a su vez cada grupo de hombres y mujeres pueden permutar en sus posiciones. Por lo tanto:

    \[ 2 \cdot P_3 = 2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 \]

Q7. En una urna hay 5 bolas blancas y 3 rojas. Si las rojas no pueden estar contiguas, ¿de cuántas maneras pueden situarse en línea sacando las bolas de una en una?

Este ejercicio se resuelve calculando primero el total y después restando los casos en los que están contiguas las bolas rojas

Total de casos posibles = P_8 = 8! = 40.320

Casos en los que las bolas rojas están juntas: 6 \cdot P_5 \cdot P_3. Pues las bolas rojas pueden permutar entre ellas en 6 posiciones considerando el paquete como un único bloque. Por otro lado, como de las bolas blancas no se dice nada, entonces eso quiere decir que pueden estar tanto contiguas como separadas.

6 \cdot P_5 \cdot P_3 = 6 \cdot 5! \cdot 3! = 6 \cdot 120 \cdot 6 = 4.320

Por lo tanto, las posibles posiciones son:

    \[ P_8 - 6 \cdot P_5 \cdot P_3 = 40.320 - 4.320 = 36.000 \]

Q8. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 libros en un estante si es posible cualquier ordenación?

ROEn = 6

    \[ P_6 = 6! = 720 \]

Q9. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 libros en un estante si 2 libros determinados deben ocupar los extremos?

Como hay dos fijos en los extremos se trata de P_4. Pero a su vez estos extremos pueden permutar. Por lo tanto:

    \[ 2 \cdot P_4 = 2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48 \]

Q10. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 libros en un estante si 3 libros determinados deben estar juntos?

Hay 3 libros que deben estar juntos siempre, lo que separa en dos bloques de 3 libros el conjunto. Pero a su vez hay cuatro formas posibles de ordenar el bloque en función de los que quedan fuera del grupo:

  • bloque-libro-libro-libro
  • libro-bloque-libro-libro
  • libro-libro-bloque-libro
  • libro-libro-libro-bloque

Por lo tanto:

    \[ 4 \cdot P_3 \cdot P_3 = 4 \cdot 3! \cdot 3! = 4 \cdot 6 \cdot 6 = 144 \]

Q11. Un estudiante tiene 7 libros diferentes de matemáticas y 4 diferentes de física. ¿De cuántas formas diferentes puede colocarlos en una estantería, si quiere poner juntos todos los de matemáticas y después los de física?

Como cada libro se junta en función de la asignatura, solo hay dos bloques cuyos elementos permutan entre sí:

  • matemática-física
  • física-matemática

Por lo tanto:

    \[ 2 \cdot P_4 \cdot P_7 = 2 \cdot 4! \cdot 7! = 2 \cdot 24 \cdot 540 = 25.290 \]

Q12. Se tienen 7 libros grandes, 5 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño y además no hay repetido ningún libro?

En primer lugar, los tamaños dividen el conjunto de libros en tres bloques: P_3.

En segundo lugar, cada bloque tiene su propia permutación: P_7, P_5 y P_3.

Por lo tanto:

    \[ P_3 \cdot P_7 \cdot P_5 \cdot P_3 = 3! \cdot 7! \cdot 5! \cdot 3! = 6 \cdot 5040 \cdot 120 \cdot 6 = 21772.800 \]

Q13. Seis libros de poesía y cinco de arte se quieren ordenar de forma que nunca estén juntos dos libros de poesía. ¿De cuántas formas se puede hacer?

Como no pueden estar juntos los libros de poesía (P), necesariamente los de arte (A) deben estar intercalados:

P-A-P-A-P-A-P-A-P-A-P

Por lo tanto solo cabe la posibilidad de que permuten los libros de poesía entre ellos y que suceda lo mismo con los de arte.

Es decir: P_6 \cdot P_5  = 6! \cdot 5! = 720 \cdot 120 = 86.400

Q14. ¿Cómo reparto 12 libros diferentes en 4 estantes si en cada estante pueden entrar los 12 libros y puede haber estantes vacíos?

En este ejercicio se vuelve a tratar las variaciones con repetición, para ver cómo se mezclan en el siguiente con las permutaciones.

En un primer momento, es importante distinguir qué es la n. No pueden ser los 12 libros, pues no varían. Sino los 4 estantes, que son los que pueden quedar vacíos en la medida que reciben las distribuciones de los libros. Por lo tanto:

ROEn = 4, r = 12

    \[ VR_{4,12}=4^{12}= 16.777.216 \]

Q15. ¿Cómo reparto 12 libros diferentes en 4 estantes si en cada estante pueden entrar los 12 libros, puede haber estantes vacíos y además importa el orden en que se colocan los libros dentro de cada estante?

La diferencia con el ejercicio anterior es que ahora además importa el orden en el que se colocan los 12 libros y por lo tanto cada posible permutación cuenta. Por lo tanto (sin resolver la operación porque sale un número muy grande):

    \[ VR_{4,12} \cdot P_{12} = 4^{12} \cdot 12! \]

 

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