Combinaciones: Repartos

 

Q1. ¿Cuántas opciones hay, si se deben escoger tres asignaturas entre seis optativas?

ROE – n = 6, r = 3

    \[ C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{1} = 20 \]

Q2. Se quiere preparar una salsa con 3 ingredientes y tenemos 7 en la nevera. ¿Cuántos tipos de salsa se puede hacer?

ROE – n = 7 , r = 3

    \[ C_{7,3} = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 5}{1} = 35 \]

Q3. En un programa de TV hay 4 presentadores. Si la plantilla es de 10 periodistas, ¿de cuántas formas se puede presentar el programa?

ROE – n = 10, r = 4

    \[ C_{10,4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4! \cdot 6!} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Q4. Se ofrecen seis discos para dos regalos. ¿Cuántas posibilidades hay si los regalos son distintos y diferentes?

ROE – n = 6, r = 2

    \[ C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2! \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15 \]

Q5. Se distribuyen 5 regalos distintos entre tres personas. ¿De cuántas formas se pueden repartir si estos regalos son iguales?

ROE – n = 5, r = 3

    \[ C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{3! \cdot 2!} = \frac{60}{6} = 10 \]

Q6. Se distribuyen 5 regalos distintos entre tres personas. ¿De cuántas formas se pueden repartir si estos regalos son distintos?

ROE – n = 5, r = 3

    \[ V_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 60 \]

Este ejemplo es útil para entender la diferencia entre las combinaciones y las variaciones: la importancia del orden. En este caso se trata de la diferencia entre ser o no los regalos iguales.

Q7. A una reunión asisten 15 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

ROE – n = 15, r = 2

    \[ C_{15,2} = \frac{15!}{2! \cdot (15-2)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{2! \cdot 13!} = \frac{210}{2} = 105 \]

Q8. ¿Cuántos grupos de 5 alumnos podemos formar con los 30 alumnos de una clase, suponiendo que un grupo se diferencia del otro al menos en un alumno?

ROE – n = 30, r = 5

Que se diferencien «al menos en un alumno», quiere decir que los grupos son distintos por las personas que los componen y no por el orden que ocupan.

    \[ C_{30,5} = \frac{30!}{5! \cdot (30-5)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25!}{5! \cdot 25!} = \frac{17100720}{120} = 142.506 \]

Q9. En una clase hay 10 niños y 6 niñas. ¿De cuántas maneras se puede hacer un grupo de 3 alumnos?

ROE – n = 16, r = 3

    \[ C_{16,3} = \frac{16!}{3! \cdot (16-3)!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13!}{3! \cdot 12!} = \frac{3360}{6} = 560 \]

Q10. En una clase hay 10 niños y 6 niñas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 niños?

ROE – n = 10, r = 3

    \[ C_{10,3} = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3! \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120 \]

Q11. En una clase hay 10 niños y 6 niñas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 2 niños y una niña?

    \[ C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 8!} = \frac{90}{2} = 45 \]

    \[ C_{6,1} = \frac{6!}{1! \cdot (6-1)!} = \frac{6 \cdot 5!}{1! \cdot 5!} = \frac{6}{1} = 6 \]

La probabilidad de seleccionar dos niños y una niña es: 45 \cdot 6 = 270

Q12. En una clase hay 10 niños y 6 niñas. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar al menos un niño?

La posibilidad de seleccionar como mínimo un niño es el suceso contrario de seleccionar tres niñas y ningún niño:

    \[ C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20 \]

Como la posibilidad de seleccionar 3 (con independencia de si son niños o niñas) es de 560 y la de que solo sean niñas es de 20, el conjunto de sucesos en el que al menos hay un niño es de 560-20=540

Q13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 8 últimas butacas de un partido de fútbol entre los 12 aficionados que están haciendo cola?

ROE – n = 12, r = 8

    \[ C_{12,8} = \frac{12!}{8! \cdot (12-8)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{8! \cdot 4!} = \frac{19958400}{40320} = 495 \]

 

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