Combinaciones: Competiciones

 

Q1. Se juega un torneo entre 10 equipos a una vuelta, por el sistema de liga. ¿Cuántos partidos se jugarán en total?

ROEn = 10, r=2

    \[ C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \]

Q2. Se quiere formar un equipo de fútbol de 5 jugadores con 10 personas. Si solo hay un portero, ¿cuántos equipos distintos se pueden formar?

ROEn = 9, r=4

    \[ C_{9,4} = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4! \cdot 5!} = \frac{3024}{24} = 126 \]

A pesar de haber 10 personas, el portero no es elegible al estar fijo. Entonces el grupo se reduce a 9 y la selección a 4.

Q3. Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador. Si se eligen entre 10 jugadores y 3 entrenadores, ¿cuántos equipos se ueden formar?

Se eligen 4 jugadores entre 10 y un entrenador entre 3. No importa el orden: C_{10,4} \cdot C_{3,1}

    \[ C_{10,4} \cdot  C_{3,1} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} \cdot \frac{3!}{1! \cdot (3-1)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4! \cdot 6!} \cdot \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = \frac{5040}{24} \cdot \frac{3}{1} = 210 \cdot 3 = 630 \]

Q4. Un club de fútbol dispone de 2 porteros, 5 defensas, 4 medios y 6 delanteros. Calcular cuántos equipos distintos se podrían alinear considerando que un equipo de fútbol se compone de un portero, tres defensas, dos medios y cinco delanteros. Además cada jugador solamente se puede alinear en su propia demarcación

Al indicar que cada jugador solamente se puede alinear en su propia demarcación nos está diciendo que no hay repeticiones. Por otro lado, varía el elemento porque no es la misma alineación con el portero 1 que con el portero 2. Además no afecta el orden porque es la misma alineación defensa 1, defensa 2 y defensa 3, que defensa 2, defensa 3 y defensa 1. Por lo tanto, son combinaciones sin repetición.

Porteros: \displaystyle C_{2,1} = \frac{2!}{1! \cdot (2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = \frac{2}{1} = 2

Defensas: \displaystyle C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{20}{2} = 10

Medios: \displaystyle C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6

Delanteros: \displaystyle C_{6,5} = \frac{6!}{5! \cdot (6-5)!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!} = \frac{6}{1} = 6

Por lo tanto las posibles combinaciones serán:

    \[ C_{2,1} \cdot C_{5,3} \cdot C_{4,2} \cdot C_{6,5} = 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 6 = 720 \]

Q5. De cuántas formas pueden llegar 3 atletas a la meta, si pueden hacerlo por separado, dos juntos o los tres juntos

Si llegan los tres juntos solo hay una posibilidad: 1.

Si llegan dos juntos, no importa el orden y no intervienen todos los elementos. Pero los dos primeros pueden permutar:

\displaystyle 2\cdot C_{3,2} = 2\cdot\frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = 2\cdot\frac{3\cdot2!}{2! \cdot 1!} = 2\cdot\frac{3}{1} = 6

Si llegan por separado, entonces importa el orden:

\displaystyle P_3 = 3! = 6

Por lo tanto las posibles formas de llegar son:

1+6+6 = 13

 

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