Variaciones con repetición: Varios

 

Q1. En una clase de 10 alumnos se reparten 3 premios. ¿Cómo se puede hacer si un alumno puede llevarse varios premios?

En este tipo de ejercicios de premios, podios y competiciones hay que distinguir muy bien cuál es la ‘n’: si los alumnos de la clase o los premios.

Es fácil observar que no son semejantes por ejemplo a los de posibles resultados de dos equipos de fútbol que compiten (1, X, 2). Porque lo que se está analizando no es el enfrentamiento entre dos competidores fijos sobre una cantidad de partidos con resultado variable, sino cómo se pueden repartir tres premios entre un grupo de personas. Por lo tanto, en este caso donde se producen las variaciones no es en los premios que son fijos, sino en los alumnos.

Dicho de otro modo, no importa el resultado de las competiciones sino la cantidad de competidores. Mientras que en elcaso de los resultados de fútbol sucede justo lo contrario, no importan los competidores sino el resultado de las competiciones. Como además se trata de premios con importancia decreciente, importa el orden.

Por otro lado, pueden ser reducidos fácilmente a variaciones sin repetición, obligando a que un alumno se pueda llevar solo un premio. Y como ya sabemos, en ese caso, el número mayor debe ser siempre la ‘n’ para que el factorial no se vuelva negativo. Es decir, la ‘n’ es el número de alumnos. Este asunto se arrastra a las variaciones con repetición, forzando también a que la ‘n’ sea el número mayor.

Así que:

ROEn = 10, r = 3

    \[ VR_{10,3}=10^3=1000 \]

Q2. ¿Cuáles son los posibles resultados de 2 equipos que se enfrentan en 5 partidos?

Como acabamos de explicar en el ejercicio anterior, en este caso el elemento fijo son los 5 partidos de los dos equipos, en la medida que siempre se están enfrentando los mismos. Por lo tanto lo que varía son los tres posibles resultados. Además se puede repetir y por supuesto importa el orden.

Es importante advertir que el número a considerar no es el ‘2’ de los equpos, sino el ‘5’ de los enfrentamientos.

Por lo tanto:

ROEn = 3, r = 5

    \[ VR_{3,5}=3^5= 243 \]

Q3. Una cafetería vende 10 tipos de cafés diferentes. Cinco amigos quieren tomar cada uno un café. ¿Cuántas formas posibles tienen de hacerlo?

Nuevamente en este ejercicio, hay que distinguir con claridad cuál es la ‘n’.

En este caso basta con considerar que sucede como en el caso de los partidos de fútbol, pues el número de personas es fijo y lo que hacen es ir tomando diferenes tipos de café. Estos se pueden repetir y además importa el orden.

Es decir:

ROEn = 10, r = 5

    \[ VR_{10,5}=10^5= 100000 \]

Q4. Un curso tiene 8 asignaturas. Cada nota puede ser suspenso, aprobado, notable o sobresaliente. ¿Cuántos boletines diferentes de notas se pueden generar?

El elemento fijo son las asignaturas y el variable las notas. Que tienen 4 posibles opciones, se pueden repetir e importa el orden.

Por lo tanto:

ROEn = 4, r = 8

    \[ VR_{4,8}=4^8= 65536 \]

Q5. En un grupo de 2 amigos, ¿cuántas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al año?

No varían los dos amigos, que son fijos. Sino las fechas de cumpleaños, que tienen 365 posibilidades. Importa el orden (no es lo mismo enero que marzo) y ambos pueden coincidir en la fecha de cumpleaños, luego puede darse repetición.

Por lo tanto:

ROEn = 365, r = 2

    \[ VR_{365,2}=365^2= 133225 \]

 

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