Variaciones sin repetición: Palabras

 

Q1. Con las letras de la palabra POTENCIA, ¿cuántas palabras de 5 letras se pueden formar sin repetir las letras, con o sin sentido?

ROEn = 8, r = 5

    \[ V_{8,5}=\frac {8!}{\left( 8-5\right) !}=\frac {8!}{3!} =\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=6720  \]

 

Q2. Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántos grupos de 4 letras se pueden formar?

ROEn = 6, r = 4

    \[ V_{6,4}=\frac {6!}{\left( 6-4\right) !}=\frac {6!}{2!} =\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1}=24  \]

 

Q3. Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántos grupos de 4 letras se pueden formar acabando en vocal?

El grupo de 4 letras debe acabar en vocal: X X X V.

Pero hay 4 vocales y al mismo tiempo el grupo original de 6 letras de la palabra EUROPA se reduce a 5 al fijar la última.

Por lo tanto:

    \[ 4\cdot V_{5,3}=4\cdot\frac {5!}{\left( 5-3\right) !}=4\cdot\frac {5!}{2!} =4\cdot \frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot1}=4\cdot 60=240  \]

 

Q4. Con las 27 letras independientes del alfabeto, ¿cuántos grupos de 5 letras distintas se pueden formar?

ROEn = 27, r = 5

    \[ V_{27,5}=\frac {27!}{\left( 27-5\right) !}= 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23=9687600  \]

 

Q5. ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con 5 vocales y 5 consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya 2 vocales juntas ni 2 consonantes juntas?

Hay V_{5,5} posibilidades de situar las 5 vocales y V_{21,5} de colocar las 21 consonantes.

Pero el resultado hay que multiplicarlo por 2. Pues las palabras pueden ordenarse de las formas:

    \[ \begin{cases}VCVCVCVCVC\\CVCVCVCVCV\end{cases} \]

En el caso de las vocales:

    \[ V_{5,5}=\frac {5!}{\left( 5-5\right) !}=\frac {5!}{0!} =\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=120 \]

En el caso de las consonantes:

    \[ V_{21,5}=\frac {21!}{\left( 21-5\right) !}= 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17=2441880 \]

Por lo tanto:

    \[ 2 \cdot V_{5,5} \cdot V_{21,5} = 2 \cdot 120 \cdot 2441880= 586051200 \]

 

Q6. Con las 27 letras independientes del alfabeto, ¿cuántos grupos de 5 letras distintos se pueden formar, que empiecen y terminen por vocal?

Los grupos de letras tienen la forma V X X X V.

Por lo tanto hay dos posibles variaciones: las de las vocales en los extremos V_{5,2} y las de las 3 letras del medio V_{25,3}. En este segundo caso hay que restar de las 27 letras posibles las dos vocales.

En el caso de las vocales:

    \[ V_{5,2}=\frac {5!}{\left( 5-2\right) !}=\frac {5!}{3!} =\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]

En el caso de las posiciones intermedias:

    \[ V_{25,3}=\frac {25!}{\left( 25-3\right) !}= 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800  \]

Por lo tanto:

    \[ V_{5,2} \cdot V_{25,3} = 20 \cdot 13800 = 276000 \]

 

Q7. Con las 27 letras independientes del alfabeto, ¿cuántos grupos de 5 letras empiezan por consonante y terminan por vocal?

Los grupos de letras tienen la forma C X X X V.

Hay 22 casos para la primera posición de la consonante, 5 casos para la última posición de la vocal y V_{25,3} casos para las tres posiciones intermedias.

En el caso de las posiciones intermedias:

    \[ V_{25,3}=\frac {25!}{\left( 25-3\right) !}= 25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800  \]

Por lo tanto:

    \[ V_{25,3} \cdot 22 \cdot 5 = 13800 \cdot 22 \cdot 5 = 1518000 \]

 

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