Variaciones sin repetición: Números

 

Q1. Con los números 2, 5, 7 y 9, ¿cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?

ROEn = 4, r = 3

    \[ V_{4,3}=\frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=24  \]

Q2. Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrán formar, de modo que acaben en cifra par?

ROEn = 4, r = 3

En este ejercicio es muy importante entender que se trata de V_{4,3} y no de V_{5,4}. Porque el último dígito debe ser par, lo que obliga a fijar en la última posición los números 4 o 6, restando uno a las posibles cifras (4 en lugar de 5).

Por otro lado, como hay 2 cifras pares, esto sucede dos veces. Luego: 2\cdot V_{4,3}

    \[ 2\cdot V_{4,3}=2\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=2\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=2\cdot 24 = 48 \]

Q3. Con los números 1, 3, 4, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrían formar, de modo que acaben en cifra impar?

ROEn = 4, r = 3

Sucede lo mismo que en el ejercicio anterior, pero ahora se fijan las cifras impares: X X X Impar

Además, hay 4 cifras impares. Luego 4\cdot V_{4,3}

    \[  4\cdot V_{4,3}=4\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=4\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=4\cdot 24 = 96 \]

Q4. Con los números 1, 2, 3 y 5, ¿cuántos múltiplos de 5 con 3 cifras distintas se pueden formar?

ROEn = 3, r = 2

Sucede lo mismo que en los ejercicios anteriores, pero ahora se fija el número 5: X X 5

    \[  V_{3,2}=\frac {3!}{\left( 3-2\right) !}=\frac {3\cdot 2\cdot 1}{1}=6 \]

Q5. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9, ¿cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números?

ROEn = 5, r = 2

Es importante entender que \frac {3}{9} no es lo mismo que \frac {9}{3}. Es decir, la división no es conmutativa y por lo tanto importa el orden. No sucedería lo mismo si se tratara por ejemplo del producto de dos números, pues 3\cdot 9 = 9\cdot 3.

Por lo tanto:

    \[  V_{5,2}=\frac {5!}{\left( 5-2\right) !}=\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]

Q6. Los números escritos en base 8 solo permiten el uso de las cifras del 0 al 7. ¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas?

ROEn = 8, r = 4

Que sean “todas las cifras distintas” indica que no puede haber repetición. Además, como se trata de números importa el orden.

Por lo tanto:

    \[  V_{8,4}=\frac {8!}{\left( 8-4\right) !}=\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1680 \]

Q7. Cuántos números enteros y desiguales, mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las ocho primeras cifras significativas no estando repetida ninguna de ellas

ROEn = 8, r = 2

Como los números deben ser 10 \leq x < 100, eso quiere decir que tienen dos cifras.

Por lo tanto:

    \[  V_{8,2}=\frac {8!}{\left( 8-2\right) !}=\frac {8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=56 \]

Q8. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, menores que 5.000, pueden formarse con los dígitos 2, 4, 5, 7 y 8?

ROEn = 4, r = 3

Al ser los números x < 5.000 eso quiere decir que solo pueden empezar por 2 y por 4. Además, el primer número de los millares está fijado de antemano en esas dos posibilidades. Así que solo pueden variar 3 cifras.

Por lo tanto:

    \[2 \cdot V_{4,3} = 2 \cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !} = 2 \cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} =  2 \cdot 24 = 48\]

Q9. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, mayores que 4.300, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?

Los números son de cuatro cifras distintas, luego no pueden repetirse. Además varían tanto en el orden como en los elementos, pues por ejemplo 4321 \neq 1234. Por lo tanto son variaciones sin repetición.

Por otro lado, al ser los números x > 4.300, solo pueden comenzar por 5, 6, 7 y 43.

Por lo tanto, hay que considerar dos posibilidades:

Dos números fijos (millares y centenas), con 4 variaciones: 43, 45, 46, 47.
Eso quiere decir que de los siete dígitos solo se pueden tomar cinco, al mismo tiempo que solo quedan dos para variar (decenas y unidades).

    \[4 \cdot V_{5,2} = 4 \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = 4 \cdot \frac {5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 4 \cdot 20 = 80 \]

La segunda posibilidad es que los números comiencen (millares) por las cifras 5, 6 y 7. Lo cual quiere decir que se queda fija la primera cifra con tres posibilidades, al mismo tiempo que quedan tres posiciones (centenas, decenas y unidades) para variar el resto de números.

    \[3 \cdot V_{6,3} = 3 \cdot \frac {6!}{\left( 6-3\right) !} = 3 \cdot \frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 3 \cdot 120 = 360 \]

Finalmente, el número total de variaciones será

    \[ 4 \cdot V_{5,2} + 3 \cdot V_{6,3} = 80 + 360 = 440 \]

Q10. ¿Calcula cuántos números de cuatro cifras distintos, mayores que 5.400, pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6?

Son variaciones, pues afecta el orden y los elementos.

Al ser x > 5.400, eso quiere decir que deben quedar fijos dos números (millares y centenas) en los casos 54 y 56. Así que solo quedan cifras disponibles para dos variaciones (decenas y unidades).
Así que:

    \[2 \cdot V_{5,2} = 2 \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = 2 \cdot \frac {5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 2 \cdot 20 = 40 \]

A continuación quedan las variaciones que comienzan con el número 6. Así que se fijan los millares para quedar 6 números disponibles en tres variaciones (centenas, decenas y unidades).

    \[V_{6,3} = \frac {6!}{\left( 6-3\right) !} = \frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 120 \]

Finalmente, el número total de variaciones será

    \[ 2 \cdot V_{5,2} + V_{6,3} = 40 + 120 = 160 \]

Q11. ¿Cuántos números hay entre los números 2.000 y 3.000 que tengan sus cifras diferentes?

ROEn = 9, r = 3

Sucede lo mismo que en anteriores ejercicios semejantes, pero ahora se fija el número 2 de los millares: 2 X X X.

Por lo tanto:

    \[  V_{9,3}=\frac {9!}{\left( 9-3\right) !}=\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot  5\cdot  4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=504 \]

Q12. ¿Cuántos números de 6 cifras distintos existen en el sistema decimal?

Los elementos del sistema decimal son 10: \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}
Primero se calculan todas las posibilidades:

    \[  V_{10,6}=\frac {10!}{\left( 10-6\right) !}=\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=151200 \]

A continuación se considera que el 0 delante no tiene sentido: 0 X X X X X Por lo tanto:

    \[ V_{9,5}=\frac {9!}{\left( 9-5\right) !}=\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=15120 \]

El resultado final es: V_{10,6} \space - \space V_{9,5} = 151200-15120=136080
Que viene a ser lo mismo que : 9 \cdot V_{9,5} = 9 \cdot 15120=136080

Q13. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 8 y 9?

Son variaciones, pues afecta el orden y los elementos.

Primero se calculan todas las posibilidades:

    \[  V_{7,4}=\frac {7!}{\left( 7-4\right) !}=\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=840 \]

A continuación se considera que el 0 delante no tiene sentido: 0 X X X. Por lo tanto:

    \[ V_{6,3}=\frac {6!}{\left( 6-3\right) !}=\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]

El resultado final es: V_{7,4} \space - \space V_{6,3} = 840-120=720
Que viene a ser lo mismo que : 6 \cdot V_{7,4} = 6 \cdot 120=720

Q14. Con las 9 cifras significativas tomadas de 3 en 3, ¿cuántas veces aparece el 4 si no se pueden repetir los números?

En un principio se trata de variaciones sin repetición, de 9 elementos tomados de 3 en 3. Pues entre las ‘cifras significativas’ no se incluye el 0. Luego se trata de V_{9,3}.

Pero debemos considerar cuántas veces no aparece el número 4. Es decir, V_{8,3}.

Restando ambas variaciones sin repetición se obtiene cuántas veces aparece el número 4:

    \[ V_{9,3} - V_{8,3} =\frac {9!}{\left( 9-3\right) !} - \frac {8!}{\left( 8-3\right) !} = \frac {9!}{6!} - \frac {8!}{5!} = \left( 9\cdot 8\cdot 7 \right) - \left( 8\cdot 7\cdot 6\cdot \right) = 168 \]

Q15. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar, de tal modo que tengan las tres primeras cifras impares y las dos últimas pares, sin repetir ninguna cifra y considerando el 0 como par?

El número tiene que ser de la forma I I I P P. Por lo tanto:

    \[  V_{5,3} \cdot V_{5,2} =\frac {5!}{\left( 5-3\right) !} \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = (5\cdot 4\cdot 3) \cdot (5\cdot 4) = 1.200 \]

Q16. Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras distintas superiores a 3.000, que pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9

Primero hay que calcular cuántos números son:

    \[  V_{5,4}=\frac {5!}{\left( 5-4\right) !} = \frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 120 \]

Pero hay que descontar los que empiezan por 1, pues x > 3.000

    \[  V_{5,4} - 1/5 \cdot V_{5,4} = 120 - \frac {5!}{5 \cdot \left(5-4\right) !} = 120 - \frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{5 \cdot 1!} = 120 - 24 = 96\]

Así que hay 96 números.

Primero calculamos la suma de las unidades, para el caso que el número termine con la cifra 1:
Como las unidades deben estar fijas, quedan 4 cifras para las 3 restantes posiciones.

    \[  V_{4,3}=\frac {4!}{\left( 4-3\right) !} = \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 24 \]

A continuación el resto de cifras (3, 5, 7, 9), teniendo en cuenta que el número 1 ya no puede estar porque x > 3.000 y que una de las cuatro restantes debe quedar fijada:

    \[ 3 \cdot  V_{3,2} = 3 \cdot  \frac {3!}{\left( 3-2\right) !} = 3 \cdot  \frac {3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 3 \cdot 6 = 18 \]

Esas posibilidades hay que multiplicarlas por cada posible terminación, descontando evidentemente el 1:

    \[ 3 \cdot 18 + 5 \cdot 18 + 7 \cdot 18 + 9 \cdot 18 = (3+5+7+9) \cdot 18 = 18 \cdot 24 = 432 \]

Por lo tanto la suma de las unidades será: 24 + 432 = 456

Para las decenas será la misma cantidad, multiplicada por 10: 10 \cdot 456 = 4560
Para las centenas será la misma cantidad, multiplicada por 100: 100 \cdot 456 = 45600

Para el cálculo de las unidades de millar procederemos del siguiente modo:
De entre los 96 números disponibles, 96/4 = 24 comenzarán por 3, 5, 7 y 9.
Es decir:

    \[ 24 \cdot (3+5+7+9) \cdot 1000 = 24 \cdot 24 \cdot 1000 = 576000\]

Así que finalmente la suma será:

    \[ 456 + 4560 + 45600 + 576.000 = 626616 \]

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