Variaciones sin repetición: Números

 

Q1. Con los números 2, 5, 7 y 9, ¿cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?

ROEn = 4, r = 3

    \[ V_{4,3}=\frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=24  \]

 

Q2. Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrán formar, de modo que acaben en cifra par?

ROEn = 4, r = 3

En este ejercicio es muy importante entender que se trata de V_{4,3} y no de V_{5,4}. Porque el último dígito debe ser par, lo que obliga a fijar en la última posición los números 4 o 6, restando uno a las posibles cifras (4 en lugar de 5).

Por otro lado, como hay 2 cifras pares, esto sucede dos veces. Luego: 2\cdot V_{4,3}

    \[ 2\cdot V_{4,3}=2\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=2\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=2\cdot 24 = 48 \]

 

Q3. Con los números 1, 3, 4, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrían formar, de modo que acaben en cifra impar?

ROEn = 4, r = 3

Sucede lo mismo que en el ejercicio anterior, pero ahora se fijan las cifras impares: X X X Impar

Además, hay 4 cifras impares. Luego 4\cdot V_{4,3}

    \[  4\cdot V_{4,3}=4\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=4\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=4\cdot 24 = 96 \]

 

Q4. Con los números 1, 2, 3 y 5, ¿cuántos múltiplos de 5 con 3 cifras distintas se pueden formar?

ROEn = 3, r = 2

Sucede lo mismo que en los ejercicios anteriores, pero ahora se fija el número 5: X X 5

    \[  V_{3,2}=\frac {3!}{\left( 3-2\right) !}=\frac {3\cdot 2\cdot 1}{1}=6 \]

 

Q5. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9, ¿cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números?

ROEn = 5, r = 2

Es importante entender que \frac {3}{9} no es lo mismo que \frac {9}{3}. Es decir, la división no es conmutativa y por lo tanto importa el orden. No sucedería lo mismo si se tratara por ejemplo del producto de dos números, pues 3\cdot 9 = 9\cdot 3.

Por lo tanto:

    \[  V_{5,2}=\frac {5!}{\left( 5-2\right) !}=\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20 \]

 

Q6. Los números escritos en base 8 solo permiten el uso de las cifras del 0 al 7. ¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas?

ROEn = 8, r = 4

Que sean “todas las cifras distintas” indica que no puede haber repetición. Además, como se trata de números importa el orden.

Por lo tanto:

    \[  V_{8,4}=\frac {8!}{\left( 8-4\right) !}=\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1680 \]

 

Q7. ¿Cuántos números hay entre los números 2.000 y 3.000 que tengan sus cifras diferentes?

ROEn = 9, r = 3

Sucede lo mismo que en anteriores ejercicios semejantes, pero ahora se fija el número 2 de los millares: 2 X X X.

Por lo tanto:

    \[  V_{9,3}=\frac {9!}{\left( 9-3\right) !}=\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot  5\cdot  4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=504 \]

 

Q8. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 8 y 9?

Primero se calculan todas las posibilidades:

    \[  V_{7,4}=\frac {7!}{\left( 7-4\right) !}=\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=840 \]

A continuación se considera que el 0 delante no tiene sentido: 0 X X X. Por lo tanto:

    \[ V_{6,3}=\frac {6!}{\left( 6-3\right) !}=\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=120 \]

El resultado final es: V_{7,4} \space - \space V_{6,3} = 840-120=720

 

Q9. Con las 9 cifras significativas tomadas de 3 en 3, ¿cuántas veces aparece el 4 si no se pueden repetir los números?

En un principio se trata de variaciones sin repetición, de 9 elementos tomados de 3 en 3. Pues entre las ‘cifras significativas’ no se incluye el 0. Luego se trata de V_{9,3}.

Pero debemos considerar cuántas veces no aparece el número 4. Es decir, V_{8,3}.

Restando ambas variaciones sin repetición se obtiene cuántas veces aparece el número 4:

    \[ V_{9,3} - V_{8,3} =\frac {9!}{\left( 9-3\right) !} - \frac {8!}{\left( 8-3\right) !} = \frac {9!}{6!} - \frac {8!}{5!} = \left( 9\cdot 8\cdot 7 \right) - \left( 8\cdot 7\cdot 6\cdot \right) = 168 \]

 

Q10. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar, de tal modo que tengan las tres primeras cifras impares y las dos últimas pares, sin repetir ninguna cifra y considerando el 0 como par?

El número tiene que ser de la forma I I I P P. Por lo tanto:

    \[  V_{5,3} \cdot V_{5,2} =\frac {5!}{\left( 5-3\right) !} \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = (5\cdot 4\cdot 3) \cdot (5\cdot 4) = 1.200 \]

 

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