Permutaciones: Introducción

 

Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por P_n.

Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de (n) elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n, a partir de un conjunto de r elementos. La diferencia es que esta vez n=r.

De un elemento: Únicamente existe una permutación: 1.

  • A = \{1\}

De dos elementos: Las dos permutaciones son: 12 y 21.

  • A = \{1,2\} ; V_{2,2} = P_2 = 2! = 2

De tres elementos: Las seis permutaciones son: 123, 132, 213, 231, 312 y 321.

  • A = \{1,2,3\} ; V_{3,3} = P_3 = 3! = 6

De cuatro elementos: Las 24 permutaciones son:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143,
2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241,
3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

  • A = \{1,2,3\} ; V_{4,4} = P_4 = 4! = 24

Y así podemos seguir construyendo permutaciones de cualquier número de elementos.
Dada la relación existente entre permutaciones y variaciones sin repetición, se puede deducir que:

    \[ P_n = V_{n,n} = n \cdot (n-1) \cdots (n-n+1) = n! \]

 

Ejemplos

Encontrar todas las palabras que tengan o no sentido con la palabra PELOTA

ROE – n = 6

\displaystyle P_6=6!=720 \smallskip

En una exposición de automóviles, hallar de cuántas formas diferentes se pueden colocar en línea 5 automóviles

ROE – n = 5

\displaystyle P_5=5!=120 \smallskip
 

En el siguiente vídeo se explica la fórmula de las permutaciones sin repetición, más algunos ejemplos sencillos.

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