Factorial de un número y sus propiedades

 

El factorial de un número n se define como el producto de todos los números naturales, desde 1 hasta n.

Por ejemplo:

    \[ 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \]

De manera fundamental, el factorial de un número n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos, sin repetir ninguno de ellos:

 

    \[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n = \prod_{k=1}^nk \]

Una propiedad importante del factorial es que

    \[ n! = n \cdot (n-1)! \]

De esta manera

    \[4! = 4 \cdot 3!, \:3! = 3 \cdot 2!, \:2! = 2 \cdot 1!, \:1! = 1 \cdot 0!\]

Por lo que gracias a esta expresión \:1! = 1 \cdot 0!\: llegamos a la siguiente propiedad:

0! = 1

Gracias a esta segunda propiedad, se puede definir la operación factorial mediante la relación de recurrencia:

    \[ \begin{cases}1 & n < 2\\ n\cdot (n-1)! & n > 1\end{cases} \]

De esta manera:

    \[ 2!=\frac{3!}{3}=\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3}=2, \: 1!=\frac{2!}{2}=\frac{2\cdot 1}{2}=1, \: 0!=\frac{1!}{1}=\frac{1}{1}=1 \]

 

 

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