Permutaciones con repetición

 

Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n_1 veces, el segundo se repite n_2 veces … y el último se repite n_k veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación.

Esta es la fórmula:

    \[ P_n^{n_1, n_2, \cdots , n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}\]

 

Ejemplos

Con las letras de la palabra BALADA, tenemos que averiguar cuántas palabras distintas se pueden formar, que tengan o no sentido.

Los grupos que se pueden formar (cada palabra distinta) se diferencian por el criterio de orden y además intervienen todos los elementos. Luego se trata de permutaciones y además con repetición, pues la A está repetida tres veces.

ROE – n = 6

\displaystyle P_6^3 = \frac{6!}{3!} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3!} = 120 \smallskip

¿Cuántos números de siete cifras se pueden formar con dos 3, cuatro 5 y un 6?

ROE – n = 7

\displaystyle P_7^{2,4} = \frac{7!}{2! \cdot 4!} = \frac{6\cdot5\cdot4!}{2! \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15 \smallskip

En el siguiente vídeo se explica la fórmula de las permutaciones con repetición y algunos ejemplos sencillos

 

Ejercicios

Q1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

ROE – n = 9

    \[ PR_9^{4, 3, 2} = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{15.120}{12} = 1.260 \]

Q2. Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, ¿cuántos números de 5 cifras se pueden formar? Si a continución ordenamos estos números en orden creciente, ¿qué lugar ocupará el capicúa 21312?

ROE – n = 5

    \[ PR_5^{2, 2} = \frac{5!}{4! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2! \cdot 2!} = \frac{5\cdot 4\cdot 3 }{2} = 30 \]

Para encontrar la posición del capicúa 21321 hay que hacer una tabla:

1.112237.1223113.21123
2.112328.1231214.21132
3.113229.1232115.21213
4.1212310.1312216.21231
5.1213211.1321217.21312
6.1221312.13221
Q3. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?

ROE – n = 6

    \[ PR_6^{3, 2} = \frac{6!}{3! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \]

Q4. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra 'MATEMÁTICAS'?

ROE – n = 11

    \[ PR_{11}^{3, 2, 2} = \frac{11!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{39.916.800}{24} = 1.663.200 \]

Q5. ¿Cuántos grupos de 5 letras pueden formarse con las letras 'a, b y c', con la condición de que en cada una de ellas aparezcan las dos consonantes sin repetirse?

Lo que está diciendo el enunciado es que solo se puede repetir la letra ‘a‘, en este caso 3 veces pues hay dos consonantes y el grupo es de 5 letras.

Por lo tanto:

    \[ PR_{5}^{3} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20 \]

Q6. ¿De cuántas formas posibles se pueden plantar en una línea divisoria de un terreno 2 nogales, 4 manzanos y 3 ciruelos?

ROE – n = 9

    \[ PR_9^{4, 3, 2} = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{15.120}{12} = 1.260 \]

Q7. ¿De cuántas formas distintas se pueden aparcar 5 coches en línea atendiendo a su color, teniendo en cuenta de que hay 3 coches rojos y 2 azules?

ROE – n = 5

    \[ PR_5^{3, 2} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = 10 \]

Q8. Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con 6 banderines, 2 de los cuales son rojos, 3 verdes y uno amarillo

ROE – n = 6

    \[ PR_6^{3, 2} = \frac{6!}{3! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = 60 \]

Q9. En una urna hay 3 bolas rojas, 3 verdes, 4 negras y 2 azules. ¿De cuántas maneras distintas pueden sacarse las bolas de la urna?

ROE – n = 5

    \[ P_{12}^{4, 3, 3, 2} = \frac{12!}{4! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{19.958.400}{72} = 277.200 \]

Q10. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 6 libros en un estante si 3 libros son iguales entre sí?

ROE – n = 6

    \[ PR_6^3 = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 120 \]

Q11. Queremos ordenar 7 libros en una estantería: 4 son de matemáticas, 2 de lengua y 1 de física. ¿De cuántas formas se puede hacer?

ROE – n = 7

    \[ P_{7}^{4, 2} = \frac{7!}{4! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{2} = 105 \]

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