Variaciones sin repetición: Números - FIAR

Q1. Con los números 2, 5, 7 y 9, ¿cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?

ROE – n = 4, r = 3

$V_{4,3}=\frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=24$

Q2. Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrán formar, de modo que acaben en cifra par?

ROE – n = 4, r = 3

En este ejercicio es muy importante entender que se trata de $V_{4,3}$ y no de $V_{5,4}$ . Porque el último dígito debe ser par, lo que obliga a fijar en la última posición los números 4 o 6, restando uno a las posibles cifras (4 en lugar de 5).

Por otro lado, como hay 2 cifras pares, esto sucede dos veces. Luego: $2\cdot V_{4,3}$

$2\cdot V_{4,3}=2\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=2\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=2\cdot 24 = 48$

Q3. Con los números 1, 3, 4, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras distintas se podrían formar, de modo que acaben en cifra impar?

ROE – n = 4, r = 3

Sucede lo mismo que en el ejercicio anterior, pero ahora se fijan las cifras impares: X X X Impar

Además, hay 4 cifras impares. Luego $4\cdot V_{4,3}$

$4\cdot V_{4,3}=4\cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !}=4\cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=4\cdot 24 = 96$

Q4. Con los números 1, 2, 3 y 5, ¿cuántos múltiplos de 5 con 3 cifras distintas se pueden formar?

ROE – n = 3, r = 2

Sucede lo mismo que en los ejercicios anteriores, pero ahora se fija el número 5: X X 5

$V_{3,2}=\frac {3!}{\left( 3-2\right) !}=\frac {3\cdot 2\cdot 1}{1}=6$

Q5. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9, ¿cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números?

ROE – n = 5, r = 2

Es importante entender que $\frac {3}{9}$ no es lo mismo que $\frac {9}{3}$ . Es decir, la división no es conmutativa y por lo tanto importa el orden. No sucedería lo mismo si se tratara por ejemplo del producto de dos números, pues $3\cdot 9 = 9\cdot 3$ .

Por lo tanto:

$V_{5,2}=\frac {5!}{\left( 5-2\right) !}=\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=20$

Q6. Los números escritos en base 8 solo permiten el uso de las cifras del 0 al 7. ¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas?

ROE – n = 8, r = 4

Que sean “todas las cifras distintas” indica que no puede haber repetición. Además, como se trata de números importa el orden.

Por lo tanto:

$V_{8,4}=\frac {8!}{\left( 8-4\right) !}=\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1680$

Q7. Cuántos números enteros y desiguales, mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las ocho primeras cifras significativas no estando repetida ninguna de ellas

ROE – n = 8, r = 2

Como los números deben ser $10 \leq x < 100$ , eso quiere decir que tienen dos cifras.

Por lo tanto:

$V_{8,2}=\frac {8!}{\left( 8-2\right) !}=\frac {8\cdot 7\cdot 6!}{6!}=56$

Q8. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, menores que 5.000, pueden formarse con los dígitos 2, 4, 5, 7 y 8?

ROE – n = 4, r = 3

Al ser los números $x < 5.000$ eso quiere decir que solo pueden empezar por 2 y por 4. Además, el primer número de los millares está fijado de antemano en esas dos posibilidades. Así que solo pueden variar 3 cifras.

Por lo tanto:

$2 \cdot V_{4,3} = 2 \cdot \frac {4!}{\left( 4-3\right) !} = 2 \cdot \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 2 \cdot 24 = 48$

Q9. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, mayores que 4.300, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7?

Los números son de cuatro cifras distintas, luego no pueden repetirse. Además varían tanto en el orden como en los elementos, pues por ejemplo $4321 \neq 1234$ . Por lo tanto son variaciones sin repetición.

Por otro lado, al ser los números $x > 4.300$ , solo pueden comenzar por 5, 6, 7 y 43.

Por lo tanto, hay que considerar dos posibilidades:

Dos números fijos (millares y centenas), con 4 variaciones: 43, 45, 46, 47.
Eso quiere decir que de los siete dígitos solo se pueden tomar cinco, al mismo tiempo que solo quedan dos para variar (decenas y unidades).

$4 \cdot V_{5,2} = 4 \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = 4 \cdot \frac {5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 4 \cdot 20 = 80$

La segunda posibilidad es que los números comiencen (millares) por las cifras 5, 6 y 7. Lo cual quiere decir que se queda fija la primera cifra con tres posibilidades, al mismo tiempo que quedan tres posiciones (centenas, decenas y unidades) para variar el resto de números.

$3 \cdot V_{6,3} = 3 \cdot \frac {6!}{\left( 6-3\right) !} = 3 \cdot \frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 3 \cdot 120 = 360$

Finalmente, el número total de variaciones será

$4 \cdot V_{5,2} + 3 \cdot V_{6,3} = 80 + 360 = 440$

Q10. ¿Calcula cuántos números de cuatro cifras distintos, mayores que 5.400, pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6?

Son variaciones, pues afecta el orden y los elementos.

Al ser $x > 5.400$ , eso quiere decir que deben quedar fijos dos números (millares y centenas) en los casos 54 y 56. Así que solo quedan cifras disponibles para dos variaciones (decenas y unidades).
Así que:

$2 \cdot V_{5,2} = 2 \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = 2 \cdot \frac {5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 2 \cdot 20 = 40$

A continuación quedan las variaciones que comienzan con el número 6. Así que se fijan los millares para quedar 6 números disponibles en tres variaciones (centenas, decenas y unidades).

$V_{6,3} = \frac {6!}{\left( 6-3\right) !} = \frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!} = 120$

Finalmente, el número total de variaciones será

$2 \cdot V_{5,2} + V_{6,3} = 40 + 120 = 160$

Q11. ¿Cuántos números hay entre los números 2.000 y 3.000 que tengan sus cifras diferentes?

ROE – n = 9, r = 3

Sucede lo mismo que en anteriores ejercicios semejantes, pero ahora se fija el número 2 de los millares: 2 X X X.

Por lo tanto:

$V_{9,3}=\frac {9!}{\left( 9-3\right) !}=\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=504$

Q12. ¿Cuántos números de 6 cifras distintos existen en el sistema decimal?

Los elementos del sistema decimal son 10: $\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$
Primero se calculan todas las posibilidades:

$V_{10,6}=\frac {10!}{\left( 10-6\right) !}=\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=151200$

A continuación se considera que el 0 delante no tiene sentido: 0 X X X X X Por lo tanto:

$V_{9,5}=\frac {9!}{\left( 9-5\right) !}=\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=15120$

El resultado final es: $V_{10,6} \space - \space V_{9,5} = 151200-15120=136080$
Que viene a ser lo mismo que : $9 \cdot V_{9,5} = 9 \cdot 15120=136080$

Q13. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 8 y 9?

Son variaciones, pues afecta el orden y los elementos.

Primero se calculan todas las posibilidades:

$V_{7,4}=\frac {7!}{\left( 7-4\right) !}=\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=840$

A continuación se considera que el 0 delante no tiene sentido: 0 X X X. Por lo tanto:

$V_{6,3}=\frac {6!}{\left( 6-3\right) !}=\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=120$

El resultado final es: $V_{7,4} \space - \space V_{6,3} = 840-120=720$
Que viene a ser lo mismo que : $6 \cdot V_{7,4} = 6 \cdot 120=720$

Q14. Con las 9 cifras significativas tomadas de 3 en 3, ¿cuántas veces aparece el 4 si no se pueden repetir los números?

En un principio se trata de variaciones sin repetición, de 9 elementos tomados de 3 en 3. Pues entre las ‘cifras significativas’ no se incluye el 0. Luego se trata de $V_{9,3}$ .

Pero debemos considerar cuántas veces no aparece el número 4. Es decir, $V_{8,3}$ .

Restando ambas variaciones sin repetición se obtiene cuántas veces aparece el número 4:

$V_{9,3} - V_{8,3} =\frac {9!}{\left( 9-3\right) !} - \frac {8!}{\left( 8-3\right) !} = \frac {9!}{6!} - \frac {8!}{5!} = \left( 9\cdot 8\cdot 7 \right) - \left( 8\cdot 7\cdot 6\cdot \right) = 168$

Q15. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar, de tal modo que tengan las tres primeras cifras impares y las dos últimas pares, sin repetir ninguna cifra y considerando el 0 como par?

El número tiene que ser de la forma I I I P P. Por lo tanto:

$V_{5,3} \cdot V_{5,2} =\frac {5!}{\left( 5-3\right) !} \cdot \frac {5!}{\left( 5-2\right) !} = (5\cdot 4\cdot 3) \cdot (5\cdot 4) = 1.200$

Q16. Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras distintas superiores a 3.000, que pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9

Primero hay que calcular cuántos números son:

$V_{5,4}=\frac {5!}{\left( 5-4\right) !} = \frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 120$

Pero hay que descontar los que empiezan por 1, pues $x > 3.000$

$V_{5,4} - 1/5 \cdot V_{5,4} = 120 - \frac {5!}{5 \cdot \left(5-4\right) !} = 120 - \frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{5 \cdot 1!} = 120 - 24 = 96$

Así que hay 96 números.

Primero calculamos la suma de las unidades, para el caso que el número termine con la cifra 1:
Como las unidades deben estar fijas, quedan 4 cifras para las 3 restantes posiciones.

$V_{4,3}=\frac {4!}{\left( 4-3\right) !} = \frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 24$

A continuación el resto de cifras (3, 5, 7, 9), teniendo en cuenta que el número 1 ya no puede estar porque $x > 3.000$ y que una de las cuatro restantes debe quedar fijada:

$3 \cdot V_{3,2} = 3 \cdot \frac {3!}{\left( 3-2\right) !} = 3 \cdot \frac {3\cdot 2\cdot 1!}{1!} = 3 \cdot 6 = 18$

Esas posibilidades hay que multiplicarlas por cada posible terminación, descontando evidentemente el 1:

$3 \cdot 18 + 5 \cdot 18 + 7 \cdot 18 + 9 \cdot 18 = (3+5+7+9) \cdot 18 = 18 \cdot 24 = 432$

Por lo tanto la suma de las unidades será: $24 + 432 = 456$

Para las decenas será la misma cantidad, multiplicada por 10: $10 \cdot 456 = 4560$
Para las centenas será la misma cantidad, multiplicada por 100: $100 \cdot 456 = 45600$

Para el cálculo de las unidades de millar procederemos del siguiente modo:
De entre los 96 números disponibles, $96/4 = 24$ comenzarán por 3, 5, 7 y 9.
Es decir:

$24 \cdot (3+5+7+9) \cdot 1000 = 24 \cdot 24 \cdot 1000 = 576000$

Así que finalmente la suma será:

$456 + 4560 + 45600 + 576.000 = 626616$

EJERCICIOS

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